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2013-01-25 03:05:52關於與威爾遜素數定理公式完全等價的兩個新公式的證明
(笫二稿.增加串式素數的猜想)
[作者簡介]彭世軍:廣西柳州市人.工書法,尤擅長狂草書法.喜詞賦.曾撰一聯雲:播深情與翰墨,寄逸興於筆端.數學愛好,乃是業餘也.
電話:13078097211
(將此文發於本人博客20121213)
已知,威爾遜素數定理公式:
[(n-1)!+1]/n =k 1 <1>
當n爲素數時,k1爲整數. (n-1)!錶示1至(n-1)的連乘.也稱爲階乘.
本文要證明:
[(n-2)!-1]/n=k2 . <2>.
當n爲素數時,k2爲整數
. <2>式與 <1>式,完全等價。
證明: 己知:威爾遜素數定理公式:
[(n-1)!+1]/n =k 1 <1>
當n爲素數時,k1爲整數.
∵[(n-1)!+1]/n =k 1 <1>
∴(n-1)!+1 =nk 1
上式兩邊－n.得:
(n-1)!+1－n =nk1－n
∵(n-1)!= (n-1)(n-2)!
∴(n-1) (n-2)!－(n－1) =n(k1－1)
∴(n-1){ (n-2)!－1}/n=(k1－1) (*)
當{ (n-2)!－1}>1,即:n>3.且n是素數時,根據威爾遜素數定理, (*)式上式兩邊必須都是整數,
∴{ (n-2)!－1}/n .肯定是整數。
令: { (n-2)!－1}/n=k2 <2>
<2>式,與<1>完全等價。而且<2>式的計算量與<1>式相比,少瞭一個階。這是<2>式優越之處。所以, (2)式與(1)式等價.是威爾遜素數定理的另一錶達式.
將<2>式代入下式(*):
(n-1){ (n-2)!－1}/n=(k1－1) (*)
得:
(n-1)k2=(k1－1)
k2=(k1－1)/(n-1) 或者k1=(n-1)k2+1
上述兩式,錶達的是<2>式與<1>式之間的關係。
下麵,拓展上麵思路,
己知:
{ (n-2)!－1}/n=k2 <2>
∴(n-2)!－1=nk2
∵(n-2)!= (n-2)(n-3)!
∴(n-2) (n-3)!－1=nk2
∴(n-2) (n-3)!=nk2+1
上式兩邊－(n-2),得:
(n-2) (n-3)! －(n-2)=nk2+1－(n-2)
(n-2){ (n-3)! －1}=nk2－n+3
∴(n-2){ (n-3)! －1}－3=n(k2－1)
∴[(n-2){ (n-3)! －1}－3]/n=(k2－1)
令(k2－1) =k3則上式可錶爲:
[(n-2){ (n-3)! －1}－3]/n=(k2－1) =k3 (3)
當[(n-2){ (n-3)! －1}－3]>1, 即:n>5.且n是素數時,根據威爾遜素數定理, (3)式上式兩邊必須都是整數,所以, k3是整數. 所以, (3)式與(1)式等價.是威爾遜素數定理的另一錶達式.
∵k1=(n-1)k2+1
∵k3 =(k2－1)
∴k2= k3+1
∴k1=(n-1)k2+1=(n-1)( k3+1)+1
∴k1,k2,k3,即有奇數,也有偶數.而且, k2,k3,還是兩個相鄰的自然數.
上麵說明的是,當n是素數時,三個威爾遜素數定理公式之間的關係.
不得不遺憾的指出,對n的降階運動,隻能進行到此.
但卻由此,獲得瞭兩個與威爾遜素數定理公式等價的公式,還是有所收獲的.
下麵驗算一下.
己知: 三個威爾遜素數定理公式
[(n-1)!+1]/n =k 1 <1>
[(n-2)!-1]/n=k2 <2>
[(n-2){ (n-3)! －1}－3]/n=k3 (3)
令:n=17 素數,看k 1, k2, k3值如何?
將n=17,代入<1>式得:
k 1 =[(n-1)!+1]/n =[(17-1)!+1]/17= 1,230,752,346,353
將n=17,代入<2>式得:
k2 =[(n-2)!-1]/n=[(17-2)!-1]/17=76,922,021,647
將n=17,代入<3>式得:
k3 =[(n-2){ (n-3)! －1}－3]/n=[(17-2){ (17-3)! －1}－3]/ 17
=76,922,021,646
∵k3 =(k2－1)
∴76,922,021,646=76,922,021,647-1
∵k1=(n-1)k2+1
∴1,230,752,346,353=(17-1)* 76,922,021,647+1
驗算無誤!
定義:當n是素數,而k1,k2,k3中有一個或有兩個也是素數時,則稱n,ki,kj(j,i=1,2,3)爲串式素數.因爲ki是素數,所以又可將ki代入三個威爾遜素數定理公式,同樣産生另一組k1,k2,k3,且有一個或有兩個也有可能是素數?隻要每一次的運算總有一個素數産生,則上述運算就可重複進行.即下述猜想是否成立:(1)是否有無窮多的串式素數?(2)至長的串式素數有多長?即:串在這根威爾遜竹棍上的素數,至多的能串多少個?
簡稱:串式素數猜想.
稱串式素數.是把威爾遜素數公式想象爲一根竹棍,而n,ki素數就串在這根竹棍上,猶如,燒烤攤上的羊肉串.
實際尋找串式素數:
己知: 三個威爾遜素數定理公式:
[(n-1)!+1]/n =k 1 <1>
[(n-2)!-1]/n=k2 <2>
[(n-2){ (n-3)! －1}－3]/n=k3 (3)
令:n=7,代入三個威爾遜素數定理公式,則:
K1=103,素數. k2=17,素數. k3=16,
∴7, 103, 17,構成一組串式素數.
下一步:又將K1=103代入三個威爾遜素數定理公式,因手提電腦的運算能力有限,隻能作罷.但可將k2=17代入三個威爾遜素數定理公式,即:
令:n=17.則:
K1= 1,230,752,346,353
k2= 76,922,021,647
k3= 76,922,021,646
因手頭無大的素數錶,,所以無法判斷K1, k2是否是素數.但根據本人的研究結果K1, k2有成爲素數的可能性.順便透露一下,我已研究出,判斷任何一個自然數,是否有可能是素數的法則.如果,該自然數有可能是素數,則可對其進行快速的因式分解.但需編程上大型機進行運算.
發消息:彭世軍證明瞭兩個與威爾遜素數定理公式完全等價的新公式!並發佈: 串式素數猜想.
。
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